振動系における固定周波数比方式による4つのインダクタモータの多周波制御による同期

Scientific Reports volume 13、記事番号: 2467 (2023) この記事を引用

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この記事では、振動系における固定周波数比法による 4 つのインダクターモーターの多周波数制御同期について調査します。振動システムの電気機械結合動的モデルを確立した。振動系の同期状態は小パラメータ法で得られる。理論的導出と数値シミュレーションでは、振動系内の 4 つの誘導電動機の多周波自己同期は実現できません。多周波数同期運動の目的を達成するために,多周波数制御同期法を提案し,ファジィPID制御法を導入した。制御システムの安定性はリアプノフ基準によって証明されています。振動系に適用する提案制御法の任意性を示す。理論とシミュレーションの精度を証明するために、振動テストベンチが構築されます。いくつかの実験は、有効性と提案された制御同期方法を検証するために実行されます。

経済の発展に伴い、利益の追求は工業生産において特に重要になっているようです。この目標を達成するために、それに対応する多くの技術が発表されています。一方、振動スクリーン、振動フィーダーなどの振動機械は、産業分野として農業における利点を研究されています1、2、3、4。この種の振動機械は、業界では通常2つのパターンで構成されています。強制同期としての 1 つのタイプは、ベルト、ギアなどによって実現されます。これらは、インダクターモーター間で同じまたは異なる速度を実現できます。もう 1 つのタイプは、Blekhman によって最初に提案された自己同期理論に基づいています 5,6。彼らの研究では、動的モデルを、平均法に基づく漸近分析法であるマルチスケール法と組み合わせます。異なる時間スケールを利用することで、振動運動を速いプロセスと遅いプロセスの 2 種類のプロセスに分割します。速いものはモーター速度に関係し、遅いものは位相に関係します。このように、誘導電動機によって駆動される 2 つの偏心回転子 (ER) は、逆方向の自己同期を実現します。もちろん、自己同期理論により、より簡単な構造で、より低コストで振動機械を実現できる。前者の成果をもとに、この分野には多くの研究者が集まり、急速な発展を遂げています。 Wen et al.7 は、高結合力学モデルに基づいて振動システムの特徴を解析しています。さらに、ハミルトン基準を使用して振動システムの同期条件と安定条件を導き出しました。 Zhao ら 8,9 は、電気機械結合動的モデルを確立し、小さなパラメータ平均法を使用して同期条件の問題を固有値の存在に変換します。 2 つのモーターの逆方向だけでなく、同じ方向の自己同期動作も実現します。上記の研究は 1 つの剛体の中で確立されます。 Zhang ら 1、10、11、12、13 は、マルチモーター (2 つ以上のモーター) による自己同期の理論を発表しています。彼らの研究では、剛体に基づいて力学モデルが構築されます。自己同期の同期条件と同期基準を用いて,動的モデルの特性解析を与えた。彼らの研究結果は、3 つのモーターによる振動システムの自己同期では重畳された振幅を得ることができず、この現象は 3 つのモーター間の差がゼロであることを実現しないことを示しています。上記の同期の問題はすべて、モーターの同じ周波数に基づいています。異なる周波数の同期問題は、Inoue Junki chi14 によって提示されました。彼らの作品では、4 つのモーターが水平軸ではなく垂直軸に沿って振動台に対称的に設置されています。そして、この非対称機能を使用して、複数周波数の同期を実現します。しかし，文献 [14] の mothed は固定力学モデルで 1 つの同期状態しか実現できない．この結果は産業界のニーズを満たすことができません。

2 つのモータの差分ゼロを実現できる自己同期動作は、同期条件および同期基準を満たしている必要があります。そして、この結果は振動システムの動的特性に依存します。この問題を解決するために、振動システムに制御方法が導入されています。 Kong ら 15,16 は、自己同期動作に制御戦略と方法を導入し、制御された同期動作を実現しています。彼らの研究では、振動システムの動的モデルで使用されるマスター/スレーブ制御戦略と適応スライディングモード制御方法が提案されています。この方法により、自己同期ではゼロにならなかったモータの差を最終的にゼロにすることができる。上記の方法の他に、石崎ら17はクロスカップリング制御方法を使用してデュアルサーボシステムとの同期を実現しています。デュアルリニアモーターシステムを目指して、Lin et al.18 は、インテリジェントな相補型スライディングモード制御方法を適用して、クロスカップル同期を実装しています。 Jia et al.19,20 は、同期動作におけるモータの異なる周波数に着目し、適応ファジィ PID 法を提案し、多周波数制御同期動作を実現しています。 Tian et al.21 は、一般化された変調関数法を使用した、位置と速度の高速かつロバストな推定を示しています。 Balthazar et al.22 は、4 つの非理想的な励振器の自己同期の研究を行っています。 Nanha Djanan et al.23,24 は、長方形のプレート上の自己同期運動を研究しています。

上の図から、同期動作を実現する目的は、力学的特徴に基づいて振動系の振幅を増大させることです。そして、この結果は、モーター間の差異ゼロを実現するために変換できます。ただし、多周波同期は整数周波数（2 倍または 3 倍）でのみ実現できます。この問題を解決するために,固定周波数比法による4つのインダクタモータの多周波数制御同期を提案し,本稿の主な構造を提供する。「数学モデルと同期解析」のセクションでは、4 つのモーターを備えた振動システムの動的モデルが確立されます。そして,振動系の同期条件と基準は両方とも小パラメータ法を用いて最小公倍数周期で得られる。「制御システムの設計」セクションでは、適応ファジィ PID 制御法をマスタースレーブ制御戦略に基づいて振動システムに導入し、制御システムの安定性がリアプノフ理論によって証明されています。読みやすい図として、いくつかの数値シミュレーションと実験を「数値と実験の結果と考察」のセクションに示し、シミュレーションと実験の適合性をリストします。「結論」セクションでは、この記事に関するいくつかの結論が示されています。

このセクションでは、振動システムの数学的モデルを図 1 に示します。これは下から上に確立されます。すべての記号を表 1 に示します。1 つの剛フレームが、座標軸に沿って対称的に配置された 4 つのバネを使用して基礎上に接続されています。 2 つのグループに分けられた 4 個のかご型インダクターモーターがフレーム上に対称的に固定されています。 1 つのグループは同じ周波数のモーター 1 と 4 であり、もう 1 つのグループは前グループとは異なる周波数のモーター 2 と 3 で構成されます。各モーターはフレームの円形穴を通して 4 本のボルトで取り付けられます。

振動系の数学モデル。

図 1 に示すように、o はフレームの中心点、oi (i = 1、2、3、4) はそれぞれ 4 つのインダクターモーターの軸点です。 \(oo_{i} = l_{i}\) (i = 1, 2, 3, 4) はそれぞれ、フレーム o の中心点と 4 つのインダクターモーター oi の軸点の間の距離です。 m はフレームと 4 つのインダクターモーターの品質です。 m0 は各 ER の完全な品質であり、mi (i = 1、2、3、4) はそれぞれ 4 つの ER の実際の品質です。 r は 4 つのモーターの半径です。 \(\varphi_{i} (i = 1,2,3,4)\) は、インダクターモーターの初期位相角です。 \(\theta_{i} (i = 1,2,3,4)\) は 4 つの ER の位置角度です。\(J_{p}\) はフレームの回転慣性です。 \(\psi\) は振動系のスイング角度です。したがって、ラグランジュ方程式に基づく振動系の微分方程式は次のように表すことができます。

ここで \(L = T - V\) です。 L はラグランジュ関数です。 T と V はそれぞれ運動エネルギーと位置エネルギーです。 Q と q はそれぞれ一般化力と一般化座標を表します。 \({\mathbf{Q}} = ( - f_{x} \dot{x}, - f_{y} \dot{y}, - f_{\psi } \dot{\psi },T_{e1} - f_{1} \dot{\varphi }_{1} ,T_{e2} - f_{2} \dot{\varphi }_{2} ,T_{e3} - f_{3} \dot{\varphi }_{3} ,T_{e4} - f_{4} \dot{\varphi }_{4} )^{{\text{T}}}\), \({\mathbf{q}} = ( x,y,\psi ,\varphi_{1} ,\varphi_{2} ,\varphi_{3} ,\varphi_{4} )^{{\text{T}}}\)。

式では、 (2)、\({\mathbf{x}}_{i} = \left( \begin{gathered} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{gathered} \right) + \left( {\ begin{array}{*{20}c} {\cos \psi } & { - \sin \psi } \\ {\sin \psi } & {\cos \psi } \\ \end{array} } \right )\left( \begin{gathered} l_{i} \cos \theta_{i} + \tau_{i} r\cos \varphi_{i} \hfill \\ l_{i} \sin \theta_{i} + r\sin \varphi_{i} \hfill \\ \end{gathered} \right)\)。

結合方程式 (1) と式 (2) と (3) により、振動系の電気機械結合力学モデルが得られます。

ここで、 \(M = m + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} }\) は振動系の総質量、 \(J = Ml_{e}^{2} \約 J_{p} + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} } (l_{i}^{2} + r^{2} )\) は、振動システム。 \(l_{e}\) は等価な回転半径です。 \(J_{i} = m_{i} r^{2} (i = 1,2,3,4)\) はそれぞれ 4 つのモーターの回転慣性です。 \(f_{x}\)、\(f_{y}\)、\(f_{\psi }\) は、それぞれ \(x\)、\(y\)、\( \psi\) 方向、\(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\)。 \(k_{x}\)、\(k_{y}\)、\(k_{\psi }\) は、それぞれ \(x\)、\(y\)、\( \psi\) 方向、\(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\)。 \(f_{i} (i = 1,2,3,4)\)、\(T_{ei} (i = 1,2,3,4)\)、および \(T_{Li} (i = 1、2、3、4)\) はそれぞれ 4 つのモーターの減衰係数、電磁トルク、負荷トルクです。式の項目 TL (4) は式 (4) のように導出されます。 (5)。

電気機械結合力学モデルの項目 Te を説明することを目的として、インダクターモーターのモデルが与えられます。この記事では、ER はかご型インダクターモーターによって駆動されます。この種のインダクタモータの特性により、内側のロータ巻線が短絡します。したがって、\(u_{rd} = u_{rq}\) となります。モーターが安定状態にあるとき、\(\phi_{rd}\) = 定数、\(\phi_{rq}\) = 0 です。文献 25 によると、インダクターモーターのモデルは式 (1) で表すことができます。 (6)。

ここで、s と r はそれぞれステータとロータを表します。 d- と q- は、回転座標系の d 軸と q 軸を表します。 i、u、R はそれぞれ電流、電圧、抵抗を表します。 Ls、Lrはそれぞれステータ、ロータの自己インダクタンスを表します。 Lm はステータとロータの相互インダクタンスです。 Tr は回転子の時定数、\(T_{r} = L_{r} /R_{r}\) です。 Lks は固定子の漏れインダクタンス、\(L_{ks} = L_{s} - L_{m}^{2} /L_{r}\) です。 Rks は固定子の等価抵抗、\(R_{ks} = R_{s} + L_{m}^{2} R_{r} /L_{r}^{2}\) です。 \({\uptheta }\) は、同期磁束鎖交角 \({\uptheta } = \int {(\omega + \omega_{s} )} dt\) を表します。 \(\omega\) は機械的な角速度を表します。 \(\omega_{s}\) は同期電気角速度 \(\omega_{s} = L_{m} i_{sq} /\phi_{rd} T_{r}\) を表します。

制御された同期を実現するために、制御システムにベクトル制御手法が導入されています。また、制御システムを説明するために、回転子磁束指向制御 (RFOC) を図 2 に示します。図2において、「\(*\)」が付いた符号は初期値、式(2)においては初期値である。 (5)、\(L_{m}\) と \(\phi_{rd}\) には値が与えられます。 \(i_{sd}\) は式 \(i_{sd} = \phi_{rd} /L_{m}\) で計算できます。したがって、項目 Te はフィードバック値 \(i_{sq}\) に関連付けられます。

RFOC: ローター磁束指向制御。

振動系の安定性解析を明確に示すために、最初に動的モデルを図示する必要があります。このモデルでは、まず図1に示すようにモーター1とモーター4が逆方向に回転します。 2 つのモータが位相差ゼロで安定した自己同期動作を実現した場合、モータ 1 とモータ 4 の安定した同期状態は \(\omega_{1} - \omega_{4} = 0\) および \(\ varphi_{1} - \varphi_{4} = 0\)。その後、モーター 2 とモーター 3 は上記と同じ自己同期動作を終了します。同様に、モーター 2 とモーター 3 の安定した同期状態は \(\omega_{2} - \omega_{3} = 0\) および \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = と表すことができます。 0\)。最後に、モーター 1 とモーター 4 は固定周波数比方式で多周波数同期動作を実現し、安定した同期状態は \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2) として表すことができます。 }\) = 0 および \(n\varphi_{1} - \varphi_{2}\) = 定数。ここで、p と q は素数、p/q = n です。したがって、4 つのモーターの速度は次のように表すことができます。

等式を計算します。 (7) を式に代入します。式 (4) から、振動系の 3 方向の応答は式 (4) として導出されます。 (8)。

ここで \(\omega_{x}^{2} = k_{x} /M\)、\(\omega_{y}^{2} = k_{y} /M\)、\(\omega_{\psi }^{2} = k_{\psi } /J\), \(\zeta_{x} = f_{x} /(2\sqrt {k_{x} M} )\), \(\zeta_{y } = f_{y} /(2\sqrt {k_{y} M} )\(\zeta_{\psi } = f_{\psi } /(2\sqrt {k_{\psi } J} ) \), \(\mu_{xi} = 1 - \omega_{x}^{2} /\omega_{i}^{2}\)、\(\mu_{yi} = 1 - \omega_{y} ^{2 } /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{\psi i} = 1 - \omega_{\psi }^{2} /\omega_{i}^{2}\ ), \ (r_{li} = l_{i} /l_{e}\), \(\tan \gamma_{xi} = 2\zeta_{x} \omega_{x} /(\mu_{xi} \ omega_{i } )\), \(\tan \gamma_{yi} = 2\zeta_{y} \omega_{y} /(\mu_{yi} \omega_{i} )\), \(\tan \ gamma_{\ psi i} = 2\zeta_{\psi } \omega_{\psi } /(\mu_{\psi i} \omega_{i} )\, \(r_{m} = m_{0} / M\), \(\eta_{i} = m_{i} /m_{0} (i = 1,2,3,4)\)。

微小パラメータ法では、微小パラメータ \(\varepsilon\) が式 (1) に導入されます。 (4)。そして、式。 (4) は式 (4) に変換できます。 (9)。

ここで、\(\omega_{0}\) は自己同期におけるモーターの平均速度です。 \(\overline{T}_{ei} = T_{e0i} - k_{e0i} \overline{\varepsilon }_{i} (i = 1,2,3,4)\) の計算方法は次のようになります。 Ref.15 から得られます。 \(\dot{\varphi }_{1} = (p + \varepsilon_{1} )\omega_{0}\)、\(\dot{\varphi }_{2} = (q + \varepsilon_{ 2} )\omega_{0}\)、\(\dot{\varphi }_{3} = (q + \varepsilon_{3} )\omega_{0}\)、\(\dot{\varphi }_ {4} = (p + \varepsilon_{4} )\omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{1} { = }\dot{\varepsilon }_{1} \omega_{0 }\)、\(\ddot{\varphi }_{2} { = }\dot{\varepsilon }_{2} \omega_{0}\)、\(\ddot{\varphi }_{3} { = }\dot{\varepsilon }_{3} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{4} { = }\dot{\varepsilon }_{4} \omega_{0} \)、平均負荷トルクは次のように表すことができます。

係数と定数の項目はすべてオンライン付録 A にリストされています。

オンライン付録 A から、2 つのインダクターモーターが同じ周波数 (自己同期) の場合、結合効果が存在することがわかります。それ以外の場合、2 つのモーター間にカップリング効果はありません。モータ 1 とモータ 4 は自己同期動作を実現しているため、平均位相差は \(\varphi_{1} - \varphi_{4} = 2\alpha_{1}\) で表すことができます。同じ理論に基づいて、モーター 2 とモーター 3 の平均位相差は \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 2\alpha_{2}\) と表すことができます。項目 Te と TL を式に取り込みます。 (10) そして、それぞれ \(\alpha_{1}\) と \(\alpha_{2}\) で展開します。一方、高次の非線形項を省略し、\(\varepsilon_{5}\) と \(\varepsilon_{6}\) をそれぞれ誘導モーターの 2 つのグループの小さなパラメーター摂動であると仮定します。式（１１）が得られる。

ここで、 \({\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}c}{a^{\prime}_{11}} & 0 & 0 & {a^{\プライム}_{14}}&0&0\\0&{a^{\プライム}_{22}}&{a^{\プライム}_{23}}&0&0&0\\0& {a^{\プライム}_{32 }} &{a^{\prime}_{33}}&0&0&0\{a^{\prime}_{41}}&0&0& {a^{\prime}_{44}} &0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\ \\end{array}} \right)\), \({\mathbf{B}} = \left({\begin{array}{*{20}c}{b^{\prime}_{11} } & 0 & 0 & { b^{\prime}_{14}} & {b^{\prime}_{15}} & 0\\0&{b^{\prime}_{22}}&{ b^{\prime} _{23}}&0&0&{b^{\prime}_{26}}\\0&{b^{\prime}_{32}}&{b^{\prime}_{33 } }&0&0&{b^{\prime}_{36}}\\{b^{\prime}_{41}}&0&0&{b^{\prime}_{44}}& {b^{\prime} _{45}}&0\\{\omega_{0}/2}&0&0&{-\omega_{0}/2}&0&0\\0&{\ omega_{0} /2} & { - \omega_{0} / 2} & 0 & 0 & 0 \\\end{配列}} \right)\), \({\dot{\overline{\mathbf{ \item psilon }}}} = \left( {\begin{配列} }{*{20}c} {\dot{\overline{\itempsilon }}_{1} } & {\dot{\overline{\itempsilon } }_{2} } & {\dot{\overline{\ itempsilon }}_{3} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{4} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{5} } & {\dot{\overline{ \varepsilon }}_{6} } \\\end{array} } \right)^{{\text{T}}}\), \( {\overline{\mathbf{\itempsilon}}} = \left ( {\begin{array}{*{20}c} {\overline{\itempsilon}_{1} } & {\overline{\itempsilon}_; {2} } & {\overline{\itempsilon }_{ 3} } & {\overline{\itempsilon }_{4} } & {\overline{\itempsilon }_{5} } & {\overline{\itempsilon }_{6} } \\ \end{array} } \right)^{{\text{T}}}\), \({{\varvec{\uppsylon}}} = \left( {\begin{ array}{*{20}c} {\upsilon_{1 }} & {\upsilon_{2}} & {\upsilon_{3}} & {\upsilon_{4}} & 0 & 0 \\\end{array } } \right)^{{\text{T}} }\)。 \(a^{\prime}_{ij}\)、\(b^{\prime}_{ij}\)、および \(\upsilon_{i}(i = 1,2,3,4)\)オンライン付録 B にリストされています。

振動システムが安定した同期状態に達すると、小さなパラメーター \(\varepsilon = 0\) および \(\dot{\varepsilon } = 0\) になります。したがって、4 つの ER の同期条件は式 (1) のように表すことができます。 (12)。

ここで、\(T_{eNi} (i = 1,2,3,4)\) は、それぞれ 4 つのインダクターモーターの定格電磁トルクです。安定した同期状態のため、\({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\) の結果が得られます。 \({{\varvec{\upupsilon}}} = 0\) を式に取り込みます。 (12)、そして式(12) (13)が得られます。

式に示すように (11) より、行列 A は非特異行列であり、行列式 \(\left| {\mathbf{A}} \right| \ne 0\) であるため、行列 A は可逆です。次に、Eq. (13) は式 (13) のように表すことができます。 (14)。

ここで \({\mathbf{D = A}}^{{ - {1}}} {\mathbf{B}}\)。 \(\left|{\lambda{\mathbf{I}} - {\mathbf{D}}}\right|{\mathbf{=}}{0}\) のため、行列の特性方程式は次のようになります。として表される

ここで \(d_{j} (j = 1,2,3,4,5,6)\) と \(\lambda\) はそれぞれ特性方程式の係数と特性値です。

特性方程式が Hurwitz 基準の条件を満たす場合、振動システムの同期状態は安定します。そうしないと不安定になります。

本節では振動系の制御系を図 3 に示す．制御構造にはマスタ・スレーブ制御法を導入し，インダクタモータのベクトル制御法にはファジィ PID 法を用いた26,27．モーター 1 はシステムのマスターモーターとみなされます。モーター 2 とモーター 4 は両方ともモーター 1 のスレーブモーターとみなされます。一方、モーター 3 はモーター 2 のスレーブモーターと見なされます。

制御システムのフレームワーク図。

制御システムの実現可能性を証明するには、図 3 を示す必要があります。最初に目標速度として \(\omega_{t}\) が与えられ、ファジィ PID 法を通じて、モーター 1 の速度 \(\omega_{1}\) が RFOC 1 で取得できます。関数は 3 つあります。 \(\omega_{1}\) の。 1 はフィードバック値としてモータ 1 に転送されます。もう 1 つは入力値としてモーター 2 に与えられます。もう 1 つは、積分法によって \(\varphi_{1}\) を取得するために使用されます。同じ周波数では、制御システムは位相によって追跡されますが、固定周波数比法では速度によって追跡されます。これにより、モータ２、３、４の速度と位相を取得することができる。

図 3 には速度トレースと位相トレースの 2 つのトレース状況があるため、制御システムの安定性については個別に議論する必要があります。速度追跡状況では、モーターの速度が状態変数 \(\omega = \dot{\varphi }\) として設定されます。 \(\omega = \dot{\varphi }\) を式に代入します。 (4) したがって、式 (4) (4) は次のように表現できます。

ここで、 \(K_{Ti} = L_{mi} \phi_{rdi} /L_{ri} (i = 1,2,3,4)\)、制御変数としての \(u_{i}\) は \ を表します(i_{qsi}^{ * }\)、\(i = 1,2,3,4\)。 \(W_{i} = - T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) は不確実な荷重を表します。 \(J_{i} (i = 1,2,3,4)\) は、それぞれ 4 つのモーターの回転慣性を表します。図 3 の指定された目標速度 \(\omega_{t}\) と実際の速度 \(\omega\) を組み合わせると、モーターの速度誤差は次のように表すことができます。

この場合、システムのトレース誤差は \({\boldsymbol{E}} = [e,\dot{e}]^{{\text{T}}}\) として表すことができます。式によると、 (16) より、システムの制御則は次のように設計できます。

ここで \({\boldsymbol{K}} = [k_{p} ,k_{i} ]^{{\text{T}}}\)。関数 \(\hat{f}(x)\) は \(\hat{f}(x|\theta_{f} ) = \theta_{f}^{{\text{T}}} と表すことができます。 \xi (x)\) は重み係数 \(\theta_{f}\) に基づいています。したがって、制御システムの適応法則は式 (1) のように設計できます。 (19)。

ここで、P は正定行列です。 \(\Omega_{f}\) を凸集合として考慮し、最適な重み係数 \(\theta_{f}^{ * }\) がそれに属することを確認し、重み係数 \(\theta_{f}\) は次のようになります。跳ねる。そして、 \(\theta_{f}^{*}\) は次のように構造化できます。

等式を計算します。 (18) を式に代入します。 (16)、制御システムの閉ループ方程式は次のように設計されます。

ここで \({\mathbf{b}} = \left( \begin{gathered} 0 \hfill\\1 \hfill\\end{gathered}\right)\), \({{\varvec{\Lambda} } } = \left({\begin{array}{*{20}c}0&1\\{-k_{p}}&{-k_{i}}\\end{array}}\right) \)。

「電気機械結合システムの設計」のセクションで説明したように、制御システムはフィードバックシステムであるため、速度誤差と位相誤差を考慮する必要があります。したがって、式。 (21) は式 (21) に変換できます。これは、式 (22) と式 (22) の近似誤差方程式です。 (18) と (19)。

ここで、 \(\Gamma = \hat{f}(x|\theta_{f}^{*} ) - f(x)\) は最小近似誤差です。

E と \(\theta_{f} - \theta_{f}^{*}\) の最小値を取得するには、リアプノフ関数を式 1 のように構築します。 (23)。

ここで、 \(\zeta\) は正の実数です。リアプノフ方程式の安定性を満たすために、正定行列としての Q が導入されます。

\(V_{1} = E^{{\text{T}}}{\mathbf{P}}E/2\) を設定し、導関数 \(\dot{V}_{{1}} = - E ^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + (\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\xi(x) + E^{{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\)。同様に、 \({\mathbf{V}}_{2} = (\theta_{f} - \theta_{f}^{*})^{{\text{T}}}(\theta_{f} と設定します) - \theta_{f}^{*} )/(2\zeta )\) の導関数 \({\dot{\mathbf{V}}}_{2} = (\theta_{f} - \ theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} \dot{\theta}_{f} /\zeta\)。リアプノフ基準に基づいて、方程式の導関数は \({\dot{\mathbf{V}}} = {\dot{\mathbf{V}}}_{{1}} + {\dot {\mathbf{V}}}_{{2}}\)、\({\mathbf{V}}_{1}\) と \({\mathbf{V}}_{2}\) を\({\mathbf{V}}\)、\(\dot{V} = - E^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + E^ として導出されます{{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\)。条件 \({\dot{\mathbf{V}}}\le 0\) を満たす \(\Gamma\) の値が存在するとき、系は安定します。

上記と同様の方法で、他のモータとの速度誤差、位相誤差の安定性認証を取得できます。

このセクションでは、いくつかの代表的な数値シミュレーション例を示します。結果は、多周波数自己同期が実現できないことを示しています。ただし、多周波制御同期はファジィ PID 方式によって実現できます。そして、実験でも同じ結果が得られます。シミュレーションと実験のパラメータを表 2 と表 3 に示します。

図 1 のモデルに基づいて、モーター 1 と 4 の周波数は 30 Hz に設定され、モーター 2 と 3 の周波数は両方とも 45 Hz に設定されます。図 4a のシミュレーション結果は、4 つのモーターの速度が所定の速度に達していることを示しています。図 4b から、モーター 1 とモーター 4 の間の位相がほぼゼロに等しいことがわかります。この結果は、同じ周波数で逆方向に回転する 2 つのモーターが安定した同期状態に到達できることを示しています。同様に、図 4c では、モーター 2 と 3 の間の位相もゼロに向かう傾向があります。非線形理論では、システムが \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2}\) = 0 および \(p\varphi_{1} を達成できるとき) - q\varphi_{2}\) = 定数、多周波数自己同期を実現できます。ただし、図4dの位相差は単調曲線であり、 \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2} \ne\) 定数です。この結果は、振動系の多周波自己同期が実現できないことを示しています。図 4e、f はそれぞれ 3 方向の応答です。図 4 の結果は、動的モデルと一致しています。

4 つの ER による多周波数自己同期、\(\alpha_{0} { = }0\)、n = 1.5。 (a) 速度、(b) モータ 1 と 4 の位相差、(c) モータ 2 と 3 の位相差、(d) モータ 1 と 2 の位相差、(e) x、y 方向の応答、( f) ψ 方向の応答。

上記の結果では、多周波自己同期は実現できません。したがって、固定周波数比法が振動系に導入されます。図 5a に 4 つのモーターの速度を示します。モーター 1 の指定速度は 60 rad/s で、モーター 2、3、4 の速度は、この制御方法によりそれぞれ 90 rad/s、90 rad/s、60 rad/s に達します。図 5b は 4 つのインダクターモーターのトルク負荷です。トルク負荷の値は - 2 ～ 2 であるため、ローターのロックやモーターの過負荷の現象は発生しません。すべてのインダクターモーターはスムーズに動作します。図 5c では、モーター 1 と 4 の間の位相はほぼゼロに等しく、モーター 1 と 4 が安定した同期状態に達していることを示しています。図 5d は、モーター 1 とモーター 2 および 3 の間の位相差です。位相差は両方とも定数に等しいです。この結果は、周波数比固定方式により制御された同期が実現できることを示している。図 5e、f は 3 方向の応答です。図 5e では、2 つのグループのモーターが両方とも反対方向に回転します。したがって、y 方向の力は互いに打ち消し合い、y 方向の振幅はほぼゼロになりますが、x 方向の振幅は重畳されます。この結果は、提案された力学理論と一致します。図5fでは、ψ方向の応答はゼロになる傾向があります。この現象は、振動系に揺れがないことを示しています。図５から、振動系が安定した同期状態に達し、固定周波数比法により制御された同期が実現されていることが分かる。パラメータ n の任意性を保証するために、パラメータを 1.5 から 1.2 に変更した別のシミュレーションを図 6 に示します。図 6 では、4 つのモータのトルク負荷は、依然として − 間の値に基づいて動作要件を満たしています。図6a、c、dの速度と位相差を通じて、結果は振動システムがパラメータn = 1、2で制御された同期を実現できることを表しています。パラメータnが異なるため、図6eのy方向の応答は図5の応答とは異なりますが、3方向の応答は依然として動的モデルと一致しています。したがって、振動システムは安定した制御された同期を実現できます。この結果は、トルク負荷の条件が満たされる場合にのみパラメータが任意であることを示しています。

4 つの ER、\(\alpha_{0} { = }0\)、n = 1.5、\(\eta = 50\%\) による同期制御。 (a) 速度、(b) 負荷トルク、(c) モータ 1 と 4 の位相差、(d) モータ 1 とモータ 2、3 の位相差、(e) x および y 方向の応答、(f) ψ方向の応答。

4 つの ER、\(\alpha_{0} { = }0\)、n = 1.2、\(\eta = 50\%\) による同期制御。 (a) 速度、(b) 負荷トルク、(c) モータ 1 と 4 の位相差、(d) モータ 1 とモータ 2、3 の位相差、(e) x および y 方向の応答、(f) ψ方向の応答。

提案した理論の正確性を検証するために、最初に主な実験装置を図 7 に示します。 4 つのインダクターモーターの周波数は、Siemens MM440 タイプの 4 つのコンバーターによって設定されます。 PLC (プログラマブルロジックコントローラー) はコンバーターと接続されます。 3 つの加速度センサーは振動試験台に貼り付けられ、別のポートがコンピューターに接続されている DASP (データ収集および信号処理) に接続されます。次に、図 4 のシミュレーションと比較するために、n = 1.2 に基づいて多周波自己同期の実験を行います。図 8 に示すように、4 つのモーターの周波数はそれぞれ 30 Hz、36 Hz、36 Hz に設定されます。 Hzと30Hz。 (a) 以降、速度は安定し、設定値に達します。 (b)の差は−5〜−12であるが、実験誤差によりモータ1とモータ4は自己同期動作を実現していることが確認できる。同様の結果が図 (c) にあります。図 4 (d) の結果と比較すると、図 8 (d) も同様の結果であり、モータ 1 と 2 の位相差の曲線も単調になっています。したがって、多周波自己同期は実現できません。 (e) と (f) の 3 方向の応答は、シミュレーションと理論の結果に従っています。この実験は、n が何に等しくても多周波数自己同期は実現できないことを示しています。

振動系の実験装置。 (a) 振動テストベンチ、(b) データ収集と信号処理、(c) 加速度センサー、(d) ホール磁気スイッチ、(e) プログラマブルロジックコントローラー、(f) コンバーター。

4 つの ER、\(\alpha_{0} { = }0\)、n = 1.2、\(\eta = 50\%\) を使用した多周波数自己同期の実験。 (a) 速度、(b) モータ 1 と 4 の位相差、(c) モータ 2 と 3 の位相差、(d) モータ 1 と 2 の位相差、(e) x 方向の応答、(f) (g) y1 方向の応答、(g) y2 方向の応答。

図 9 では、パラメータ n = 1.5 に基づいて制御された同期の実験が示されています。図 9a ～図 9c から、モーター 1 と 4 およびモーター 2 と 3 は両方とも制御された同期を実現しています。図 9d では、モーター 1 とモーター 2 の間の位相差が一定に向かう傾向にあり、制御された同期が実現されていることを確認します。図9eでは、応答は図9gの応答よりも明らかに小さいため、この結果は、振動系が安定した同期状態を実現していることを示しています。図９の（ｅ）の応答曲線は図５の（ｅ）の曲線と類似しており、この実験結果はシミュレーションと一致している。

4 つの ER、\(\alpha_{0} { = }0\)、n = 1.5、\(\eta = 50\%\) による制御された同期の実験。 (a) 速度、(b) モータ 1 と 4 の位相差、(c) モータ 2 と 3 の位相差、(d) モータ 1 と 2 の位相差、(e) x 方向の応答、(f) (g) y1 方向の応答、(g) y2 方向の応答。

この記事では、質量バネ剛体に基づく固定周波数比法を使用した 4 つのインダクターモーターの多周波数制御同期について調査します。力学モデルの導出を通じて、振動システムの安定性と同期条件の両方が得られます。この結果は、図 1 の力学モデルでは、同一周波数での自己同期は実現できるが、振動系の複数周波数での自己同期は実現できないことを示しています。一貫性を証明するために、いくつかの数値シミュレーションと実験が与えられています。結果の。提案された固定周波数比方式を制御システムに導入することにより、多周波数制御同期が実現されます。ロバスト性解析を通じて、制御システムの安定性が証明され、制御方法の実現可能性が明らかになります。シミュレーションと実験による理論の適合性を示した。この結果は、トルク負荷の条件が満たされる場合にのみ、提案手法により固定周波数パラメータの任意性を実現できることを示している。さらに、多周波数制御同期方法は、業界における多周波数振動スクリーンの問題に対処する新しい方法を提供します。

現在の研究中に生成されたデータセットは、この記事のプロジェクトへの資金提供が終了するまで一般公開されませんが、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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著者の研究は、2022 年度遼寧省教育部一般プロジェクト (プロジェクト番号 LJKMZ20220602) および瀋陽立功大学の 2021 年度高レベル人材向け科学研究支援 (1010147001001) によって支援されています。 APC は同じ資金提供者から資金提供を受けました。

瀋陽立功大学機械工学部、瀋陽、110159、中国

Lei Jia、Chun Wang、Ziliang Liu

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LJ は力学モデルの確立、実験を完了し、主要な原稿を書きました。 CW はすべての図と表を作成しました。 ZL はシミュレーションを終了しました。著者全員が原稿をレビューしました。

レイ・ジアさんへの連絡。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

シュプリンガーネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

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転載と許可

Jia, L.、Wang, C. & Liu, Z. 振動システムにおける固定周波数比法による 4 つのインダクターモーターの多周波数制御同期。 Sci Rep 13、2467 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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受信日: 2022 年 11 月 1 日

受理日: 2023 年 2 月 7 日

公開日: 2023 年 2 月 11 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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